中学数学公式の証明
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■ 二次方程式の解の公式の証明
◾ 公式
二次方程式
ax² + bx + c = 0
の解は
x = [-b
± √(b² - 4ac)] / (2a)
という公式で求められます。
◾ 簡単な言葉で証明
中学生向けに、やさしく短く説明してあります。
【ステップ1】
両辺を a で割る
まず
ax² + bx + c = 0
を a で割ると
x² +
(b/a)x + (c/a) = 0
【ステップ2】
平方完成する
x² +
(b/a)x の部分を平方完成するために
(b /
2a)²
を足す。
【ステップ3】
式をまとめる
x² +
(b/a)x + (b / 2a)² = - (c/a) + (b / 2a)²
左辺は平方の形になる：
(x + b /
2a)²
【ステップ4】
両辺の平方根を取る
x + (b /
2a) = ± √[(b² - 4ac) / (4a²)]
【ステップ5】
式を整理する
右辺を簡単にすると
x = [-b
± √(b² - 4ac)] / (2a)
これで完成！
例えば x² +
6x + 5 = 0 のとき
平方完成 →
(x + 3)² = 4
平方根を取る →
x + 3 = ±2
解 → x =
-1 または x = -5
◾ 簡単な例題
例題
次の二次方程式を解きなさい：
2x² + 8x + 6 = 0
解
a = 2, b = 8, c = 6
x = [-8
± √(64 - 48)] / 4
= [-8 ± 4] / 4
よって
x = -1 または x = -3
■ 三平方の定理の証明
◾ 公式
直角三角形において
a² + b²
= c²
a, b：直角をはさむ2辺
c：斜辺
◾ 簡単な言葉で証明
中学生向けに、やさしく短く説明してあります！
【証明方法】 正方形を使う方法
【ステップ1】
正方形を用意
一辺の長さが
(a + b) の正方形を考える。
中に同じ直角三角形を4つ並べて置く。
【ステップ2】
正方形の面積を2通りで計算
■ 計算方法①
正方形の面積は (a + b)²
■ 計算方法②
中にできる正方形の面積 + 三角形4つの面積
中の正方形の辺の長さは c
→ 面積は c²
三角形の面積（1つ）= (1/2) × a × b
4つあるので合計 = 2ab
【ステップ3】
面積を等式で表す
(a + b)²
= c² + 2ab
【ステップ4】
展開する
a² + 2ab
+ b² = c² + 2ab
【ステップ5】 2ab を引く
a² + b²
= c²
これで証明できた！
◾ 簡単な例題
例題
次の直角三角形で、斜辺 c の長さを求めなさい。
a = 3, b
= 4
解
c² = 3² + 4²
= 9 + 16
= 25
よって
c = 5
■ 円の面積の証明
◾ 公式
円の面積は
面積 = π ×
r²
r：半径
◾ 簡単な言葉で証明
中学生にもわかるよう、やさしく短くまとめてあります。
【証明方法】 扇形を細かく分ける方法
【ステップ1】
円を細かく分ける
円をたくさんの扇形に分ける。
分ければ分けるほど形が「長方形」に近づく。
【ステップ2】
長方形の形を考える
長方形の縦の長さ
→ 半径 r
長方形の横の長さ → 円周の半分
【ステップ3】
横の長さを求める
円周 = 2πr
だから半分は πr
【ステップ4】
面積を求める
長方形の面積は
縦 × 横 = r × πr = π × r²
◾ 簡単な例題
例題
半径 r = 5 cm の円の面積を求めなさい。
解
面積 = π × 5²
= 25π cm²