■ 図形資料館 ▶ 補助線テクニック
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◾ 補助線って何？
補助線とは、図形の問題を解きやすくするために自分で引く線のこと。
例：
- 線を引いて三角形を作る
- 対称な図形を作る
- 角度を分ける
補助線を入れるだけで、解けない問題が一気に解けることが多い！
◾ よく使う補助線テクニック
【① 二等辺三角形の高さを引く】
二等辺三角形に垂直な線を下ろすと
- 左右が対称
- 底辺が半分に分かれる
ポイント：二等辺三角形 → 高さを引く！
【② 対角線を引く】
四角形や平行四辺形などに対角線を引くと
- 三角形が2つできる
- 辺の長さの関係がわかりやすい
例：平行四辺形は対角線が半分ずつになる
【③ 平行線を引く】
角度の問題で便利！
例：
- 外角を作る
- 錯角・同位角を使う
ポイント：平行線を1本引くだけで角度がスッキリ
【④ 補助線で正方形を作る】
問題：斜めの長さを求めたいとき
正方形を補助的に描くと、対角線の長さは
√2 × 一辺
例：
一辺が 10cm → 対角線は 10 × √2
【⑤ 円の弦に垂直に線を引く】
円の中心から弦に垂直に線を引くと
- 弦が半分に分かれる
- 三平方の定理が使いやすい
例：弦の長さを求める問題
【⑥ 対称な線を引く】
図形を折り返すように線を引くと
- 長さが同じ場所がわかる
- 図形が左右対称になる
【⑦ 半円の中心を結ぶ】
半円が並ぶ問題で使える。
中心を線で結ぶと、長さや面積が計算しやすい
◾ 簡単な例題
例題
底辺 10cm の二等辺三角形の高さを求めるとき、どこに線を引く？
解答
→ 底辺に垂直な高さを引くと、底辺が半分に分かれるので三平方の定理が使いやすい！
■ 図形資料館 ▶ 円の性質
◾ 円ってどんな形？
円とは、中心から同じ距離にある点を全部集めた形。
この距離を 半径 と呼ぶ。
円のまわりの長さを 円周 と呼ぶ。
◾ 円の基本用語
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用語 |
読み方 |
簡単な説明 |
|
半径 |
はんけい |
中心から円のふちまでの長さ |
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直径 |
ちょっけい |
円を中心で2つに分ける線。半径×2 |
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円周 |
えんしゅう |
円のまわりの長さ |
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弧 |
こ |
円周の一部分 |
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弦 |
げん |
円のふちを結ぶ直線 |
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中心角 |
ちゅうしんかく |
円の中心で作られる角 |
|
円周角 |
えんしゅうかく |
円周上で作られる角 |
◾ よく使う円の性質
【① 中心角と円周角】
同じ弧に対する円周角は中心角の半分。
例：
中心角が 60° → 円周角は 30°
ポイント：
→ 「円周角は半分！」を覚える
【② 弦と中心の関係】
弦から中心に垂直に線を下ろすと、弦を半分に分ける。
長さを求めるときに便利。
【③ 弦が長いと中心に近い】
弦の長さが長いほど、円の中心に近い位置にある。
【④ 弧の長さの公式】
弧の長さ = (中心角 ÷ 360°) × 2πr
【⑤ 扇形の面積】
面積 = (中心角 ÷ 360°) × πr²
【⑥ 接線の性質】
円に接する線は、円の半径と垂直になる。
例：接線と半径は必ず直角！
◾ 簡単な例題
例題
半径 5 cm の円で、中心角 90° の弧の長さを求めよ。
解答
弧の長さ = (90 ÷ 360) × 2π × 5
= (1/4) × 10π
= 2.5π cm
■ 図形資料館 ▶ 空間図形
◾ 空間図形とは？
空間図形とは、平面だけでなく「高さ」や「奥行き」もある立体の形。
◾ よく出る立体
【① 直方体】
- サイコロのような形
- 面はすべて四角形
- 表面積 = 2 × (たて × よこ + よこ × 高さ + たて × 高さ)
- 体積 = たて × よこ × 高さ
【② 立方体】
直方体の特別な形。辺の長さがすべて同じ。
- 表面積 = 6 × (辺の長さ)²
- 体積 = (辺の長さ)³
【③ 円柱】
円を上下に置いて高さを伸ばした形。
- 底面積 = πr²
- 側面積 = 2πr × 高さ
- 表面積 = 2 × 底面積 + 側面積
- 体積 = 底面積 × 高さ
【④ 円錐】
アイスクリームのコーンの形。
- 底面積 = πr²
- 体積 = (1/3) × 底面積 × 高さ
【⑤ 球】
地球のような丸い形。
- 表面積 = 4πr²
- 体積 = (4/3)πr³
◾ 空間図形の特徴
【① 対角線の長さ】
直方体の対角線の長さ = √(たて² + よこ² + 高さ²)
【② 切り口】
立方体を斜めに切ると → 六角形が現れることも！
【③ 展開図】
立体を紙のように広げた図
ポイント：展開図を描くと面積計算が楽になる！
◾ 簡単な例題
例題
半径 3 cm、高さ 5 cm の円柱の体積を求めよ。
解答
底面積 = π × 3² = 9π
体積 = 9π × 5 = 45π cm³