「高校数学II 完全理解！定期テストから受験対策まで」基本 [gux-4792]

「高校数学II 完全理解！定期テストから受験対策まで」

高校数学IIは、理系・文系問わず重要な単元ばかり！この問題集では、指数・対数関数、三角関数、微分・積分を基礎詳しく解説。
難しい概念も丁寧な説明と例題でしっかり理解できるので、定期テスト対策にも受験準備にも最適。数学IIを得意にすれば、大学入試の数学が大きく有利に！

構成
No 基礎問題　　 応用問題　 総合問題 total 価格
POINT 1　 10 10 10 30 無料
POINT 2　 10 10 10 30 有料
POINT３ 10 10 10 30 有料
POINT４ 10 10 10 30 有料
SET 40 40 40 120 有料





























高校数学II
POINT１

数学の始まり
? 三平方の定理（ピタゴラスの定理）
o 直角三角形の辺の関係： a2+b2=c2 　a? + b? = c?
o 整数の組として成り立つ例（例：(5,12,13), (8,15,17)）
o 平方根の概念の発展
? 式の計算
o 2次の乗法公式 (a+b)? = a? + 2ab + b?　　　　　 (a-b)? = a? - 2ab + b?
o 3次の乗法公式 (a+b)? = a? + 3a?b + 3ab? + b?　　 (a-b)? = a? - 3a?b + 3ab? - b?
o 乗法公式を用いた計算手順
? 展開を活用して多項式の計算を簡略化する方法
3次の因数分解
? 因数分解の公式 a? + b? = (a+b)(a? - ab + b?) a? - b? = (a-b)(a? + ab + b?)
? パスカルの三角形と二項定理
o 二項展開： (a+b)n = Σk=0n(nCk) a??? b?
o パスカルの三角形を用いた係数の求め方
? 二項定理の具体例と展開
o 例：(x+2)? を展開する
o 高次の展開式の計算
分数式の乗法と除法
? 分数式の基本
o 文字を含む分数の計算ルール
? 乗法（かけ算）
A/B × C/D = AC/BD
? 除法（割り算）
A/B ÷ C/D = A/B × D/C
? 逆数を用いた計算方法
o 割り算を掛け算に変換して解く
? 分数式の加法と減法
o 分母が同じ場合：
A/C + B/C = (A + B)/C
o 分母が異なる場合：
? 通分してから計算
o 具体例を用いた加減算の方法
虚数と複素数
? 虚数の定義
o 虚数単位 i の性質： i? = -1
? 負の数の平方根
o 方程式 x? = -a の解： x = ±i√a
? 複素数の定義
o 一般形：a + bi
o 実部 a、虚部 b
? 複素数の計算
o 加法・減法： 実部と虚部をそれぞれ計算
o 乗法：i? = -1 を利用して展開
o 共役な複素数：a + bi に対して a - bi
o 除法：分母に虚数が含まれる場合、共役を掛けて有理化する
二次方程式の解
? 解の公式
o 二次方程式： ax? + bx + c = 0
o 解の公式：
x = [-b ± √(b? - 4ac)] / (2a)
? 解の種類と判別式
o 判別式：D = b? - 4ac
- D > 0：異なる2つの実数解
- D = 0：重解（1つの実数解）
- D < 0：異なる2つの虚数解
? 解と係数の関係
o 解の和： α + β = -b/a
o 解の積： αβ = c/a
? 応用
o 二次方程式を利用した計算
o 判別式を用いた方程式の解の個数の判定
整式の除法
? 整式の割り算の手順
o 割られる式 A(x) を、割る式 B(x) に対して
A(x) = B(x)Q(x) + R(x)
o ここで、余り R(x) の次数は B(x) より小さい
? 剰余の定理
o P(x) を x - a で割ったときの余りは P(a)
? 因数定理
o P(a) = 0 のとき、x - a は P(x) の因数
? 因数定理を用いた因数分解
o P(x) = (x - a)(x - b)(x - c) のように展開可能
? 応用
o 4次式の因数分解の手順
o 剰余の定理を使った計算確認
無限等比級数
? 無限級数とは
o 数列の無限個の項を足し合わせたもの
? 無限等比級数の収束条件
o 公比 |r| < 1 のとき、級数は収束する
? 和の公式（|r| < 1 のとき）
o S = a / (1 - r)
? 具体例
o 例：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
⇒ S = 1 / (1 - 1/2) = 2
? 応用
o 循環小数の分数表示
o 経済学や物理学での応用
等式と不等式の証明
? 等式の証明
o 両辺を展開して一致を確認
o 式変形により示す
? 不等式の証明
o 両辺の差をとって 0 以上を示す方法
o 平方や乗法を活用して証明
? 相加平均・相乗平均の関係（a, b > 0）
o (a + b)/2 ? √ab
? 応用例
o 最大・最小問題の処理
o 統計学や経済学での利用
座標と直線の方程式
? 座標の基本
o 平面上の点は (x, y) で表す
? 二点間の距離公式
o d = √[(x? - x?)? + (y? - y?)?]
? 直線の方程式
o 傾き m を使って：y = mx + c
? 内分点の公式
o (m x? + n x?)/(m + n), (m y? + n y?)/(m + n)
? 外分点の公式
o (m x? - n x?)/(m - n), (m y? - n y?)/(m - n)
? 応用
o 傾きの求め方
o 直線の交点計算
座標平面と点の位置
? 座標の読み方
o x軸・y軸の意味と点の位置関係
? 二点間の距離
o d = √[(x? - x?)? + (y? - y?)?]
? 内分点・外分点の利用
o 特定比での分割点を求める
? 傾きの公式
o m = (y? - y?)/(x? - x?)
? 応用
o 直線の方程式の導出
o 三角形の重心：3点の平均
G = ((x? + x? + x?)/3, (y? + y? + y?)/3)

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高校　数学II

POINT 1　　基礎問題10問
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問題1：三平方の定理
直角三角形の 2 辺の長さが 6 cm と 8 cm のとき、斜辺の長さを求めよ。



解答
三平方の定理：
a? + b? = c?
6? + 8? = c?
36 + 64 = c?
c? = 100
c = √100 = 10
解説
直角三角形における三平方の定理を使って斜辺を求める。

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問題2：乗法公式の利用
次の式を展開せよ。
(x + 3)?



解答
(x + 3)? = x? + 2 × 3 × x + 3? = x? + 6x + 9
解説
展開公式：(a + b)? = a? + 2ab + b? を用いる。

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問題3：因数分解
x? ? 27 を因数分解せよ。



解答
x? ? 27 = (x ? 3)(x? + 3x + 9)
解説
a? ? b? = (a ? b)(a? + ab + b?) の公式を使う。

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問題4：分数式の乗除
(3x / 4) × (8 / 9x)



解答
= (3x × 8) / (4 × 9x)
= 24x / 36x
= 2 / 3
解説
分数の掛け算では分子・分母をそれぞれ簡約。

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問題5：虚数の基本
i? + i? + i? を求めよ。



解答
i? = ?1
i? = i? × i = (?1) × i = ?i
i? = (i?)? = (?1)? = 1
よって、1 + (?1) + (?i) = ?i
解説
i? = ?1 をもとに虚数の性質を展開。

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問題6：二次方程式の解
x? ? 4x + 3 = 0 を解け。



解答
(x ? 3)(x ? 1) = 0
よって、x = 3, x = 1
解説
因数分解により解を求める。

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問題7：整式の除法
(x? ? 2x? + x ? 3) ÷ (x ? 1)



解答
= x? ? x + 2 あまり ?1
解説
筆算を使い、商と余りを求める。

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問題8：無限等比級数
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ。



解答
初項 a = 1、公比 r = 1/2
S = a / (1 ? r) = 1 / (1 ? 1/2) = 1 / (1/2) = 2
解説
|r| < 1 のとき、無限等比級数の和 S = a / (1 ? r) を使う。

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問題9：不等式の証明
(a + b) / 2 ? √(ab)?（a, b > 0）



解答
左辺 ? 右辺 = ((a + b) / 2 ? √ab)
これを平方して：
((a + b) / 2)? ? ab
= (a? + 2ab + b?) / 4 ? ab
= (a? ? 2ab + b?) / 4
= ((a ? b)?) / 4 ? 0
よって証明完了。
解説
差の平方は常に 0 以上になる性質を利用。

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問題10：2点間の距離
点 A(2, 3)、B(6, 7) 間の距離を求めよ。



解答
距離公式：
d = √((6 ? 2)? + (7 ? 3)?)
= √(16 + 16)
= √32
= 4√2
解説
2点間距離の公式 √((x? ? x?)? + (y? ? y?)?) を使う。