「高校数学II 完全理解！定期テストから受験対策まで」 [gux-4792]
商品詳細
「高校数学II 完全理解！定期テストから受験対策まで」
高校数学IIは、理系・文系問わず重要な単元ばかり！この問題集では、指数・対数関数、三角関数、微分・積分を基礎から応用まで詳しく解説。
難しい概念も丁寧な説明と例題でしっかり理解できるので、定期テスト対策にも受験準備にも最適。数学IIを得意にすれば、大学入試の数学が大きく有利に！
構成
No 基礎問題 応用問題 総合問題 total 価格
POINT 1 10 10 10 30 無料
POINT 2 10 10 10 30 有料
POINT３ 10 10 10 30 有料
POINT４ 10 10 10 30 有料
SET 40 40 40 120 有料
高校数学II
POINT１
数学の始まり
? 三平方の定理（ピタゴラスの定理）
o 直角三角形の辺の関係： a2+b2=c2 a? + b? = c?
o 整数の組として成り立つ例（例：(5,12,13), (8,15,17)）
o 平方根の概念の発展
? 式の計算
o 2次の乗法公式 (a+b)? = a? + 2ab + b? (a-b)? = a? - 2ab + b?
o 3次の乗法公式 (a+b)? = a? + 3a?b + 3ab? + b? (a-b)? = a? - 3a?b + 3ab? - b?
o 乗法公式を用いた計算手順
? 展開を活用して多項式の計算を簡略化する方法
3次の因数分解
? 因数分解の公式 a? + b? = (a+b)(a? - ab + b?) a? - b? = (a-b)(a? + ab + b?)
? パスカルの三角形と二項定理
o 二項展開： (a+b)n = Σk=0n(nCk) a??? b?
o パスカルの三角形を用いた係数の求め方
? 二項定理の具体例と展開
o 例：(x+2)? を展開する
o 高次の展開式の計算
分数式の乗法と除法
? 分数式の基本
o 文字を含む分数の計算ルール
? 乗法（かけ算）
A/B × C/D = AC/BD
? 除法（割り算）
A/B ÷ C/D = A/B × D/C
? 逆数を用いた計算方法
o 割り算を掛け算に変換して解く
? 分数式の加法と減法
o 分母が同じ場合：
A/C + B/C = (A + B)/C
o 分母が異なる場合：
? 通分してから計算
o 具体例を用いた加減算の方法
虚数と複素数
? 虚数の定義
o 虚数単位 i の性質： i? = -1
? 負の数の平方根
o 方程式 x? = -a の解： x = ±i√a
? 複素数の定義
o 一般形：a + bi
o 実部 a、虚部 b
? 複素数の計算
o 加法・減法： 実部と虚部をそれぞれ計算
o 乗法：i? = -1 を利用して展開
o 共役な複素数：a + bi に対して a - bi
o 除法：分母に虚数が含まれる場合、共役を掛けて有理化する
二次方程式の解
? 解の公式
o 二次方程式： ax? + bx + c = 0
o 解の公式：
x = [-b ± √(b? - 4ac)] / (2a)
? 解の種類と判別式
o 判別式：D = b? - 4ac
- D > 0：異なる2つの実数解
- D = 0：重解（1つの実数解）
- D < 0：異なる2つの虚数解
? 解と係数の関係
o 解の和： α + β = -b/a
o 解の積： αβ = c/a
? 応用
o 二次方程式を利用した計算
o 判別式を用いた方程式の解の個数の判定
整式の除法
? 整式の割り算の手順
o 割られる式 A(x) を、割る式 B(x) に対して
A(x) = B(x)Q(x) + R(x)
o ここで、余り R(x) の次数は B(x) より小さい
? 剰余の定理
o P(x) を x - a で割ったときの余りは P(a)
? 因数定理
o P(a) = 0 のとき、x - a は P(x) の因数
? 因数定理を用いた因数分解
o P(x) = (x - a)(x - b)(x - c) のように展開可能
? 応用
o 4次式の因数分解の手順
o 剰余の定理を使った計算確認
無限等比級数
? 無限級数とは
o 数列の無限個の項を足し合わせたもの
? 無限等比級数の収束条件
o 公比 |r| < 1 のとき、級数は収束する
? 和の公式（|r| < 1 のとき）
o S = a / (1 - r)
? 具体例
o 例：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
⇒ S = 1 / (1 - 1/2) = 2
? 応用
o 循環小数の分数表示
o 経済学や物理学での応用
等式と不等式の証明
? 等式の証明
o 両辺を展開して一致を確認
o 式変形により示す
? 不等式の証明
o 両辺の差をとって 0 以上を示す方法
o 平方や乗法を活用して証明
? 相加平均・相乗平均の関係（a, b > 0）
o (a + b)/2 ? √ab
? 応用例
o 最大・最小問題の処理
o 統計学や経済学での利用
座標と直線の方程式
? 座標の基本
o 平面上の点は (x, y) で表す
? 二点間の距離公式
o d = √[(x? - x?)? + (y? - y?)?]
? 直線の方程式
o 傾き m を使って：y = mx + c
? 内分点の公式
o (m x? + n x?)/(m + n), (m y? + n y?)/(m + n)
? 外分点の公式
o (m x? - n x?)/(m - n), (m y? - n y?)/(m - n)
? 応用
o 傾きの求め方
o 直線の交点計算
座標平面と点の位置
? 座標の読み方
o x軸・y軸の意味と点の位置関係
? 二点間の距離
o d = √[(x? - x?)? + (y? - y?)?]
? 内分点・外分点の利用
o 特定比での分割点を求める
? 傾きの公式
o m = (y? - y?)/(x? - x?)
? 応用
o 直線の方程式の導出
o 三角形の重心：3点の平均
G = ((x? + x? + x?)/3, (y? + y? + y?)/3)
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高校 数学II
POINT 1 基礎問題10問
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問題1：三平方の定理
直角三角形の 2 辺の長さが 6 cm と 8 cm のとき、斜辺の長さを求めよ。
解答
三平方の定理：
a? + b? = c?
6? + 8? = c?
36 + 64 = c?
c? = 100
c = √100 = 10
解説
直角三角形における三平方の定理を使って斜辺を求める。
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問題2：乗法公式の利用
次の式を展開せよ。
(x + 3)?
解答
(x + 3)? = x? + 2 × 3 × x + 3? = x? + 6x + 9
解説
展開公式：(a + b)? = a? + 2ab + b? を用いる。
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問題3：因数分解
x? ? 27 を因数分解せよ。
解答
x? ? 27 = (x ? 3)(x? + 3x + 9)
解説
a? ? b? = (a ? b)(a? + ab + b?) の公式を使う。
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問題4：分数式の乗除
(3x / 4) × (8 / 9x)
解答
= (3x × 8) / (4 × 9x)
= 24x / 36x
= 2 / 3
解説
分数の掛け算では分子・分母をそれぞれ簡約。
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問題5：虚数の基本
i? + i? + i? を求めよ。
解答
i? = ?1
i? = i? × i = (?1) × i = ?i
i? = (i?)? = (?1)? = 1
よって、1 + (?1) + (?i) = ?i
解説
i? = ?1 をもとに虚数の性質を展開。
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問題6：二次方程式の解
x? ? 4x + 3 = 0 を解け。
解答
(x ? 3)(x ? 1) = 0
よって、x = 3, x = 1
解説
因数分解により解を求める。
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問題7：整式の除法
(x? ? 2x? + x ? 3) ÷ (x ? 1)
解答
= x? ? x + 2 あまり ?1
解説
筆算を使い、商と余りを求める。
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問題8：無限等比級数
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ。
解答
初項 a = 1、公比 r = 1/2
S = a / (1 ? r) = 1 / (1 ? 1/2) = 1 / (1/2) = 2
解説
|r| < 1 のとき、無限等比級数の和 S = a / (1 ? r) を使う。
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問題9：不等式の証明
(a + b) / 2 ? √(ab)?（a, b > 0）
解答
左辺 ? 右辺 = ((a + b) / 2 ? √ab)
これを平方して：
((a + b) / 2)? ? ab
= (a? + 2ab + b?) / 4 ? ab
= (a? ? 2ab + b?) / 4
= ((a ? b)?) / 4 ? 0
よって証明完了。
解説
差の平方は常に 0 以上になる性質を利用。
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問題10：2点間の距離
点 A(2, 3)、B(6, 7) 間の距離を求めよ。
解答
距離公式：
d = √((6 ? 2)? + (7 ? 3)?)
= √(16 + 16)
= √32
= 4√2
解説
2点間距離の公式 √((x? ? x?)? + (y? ? y?)?) を使う。
POINT 1 高校 数学II応用問題 10問
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問題1：三平方の定理（応用）
長方形の対角線の長さを求めよ。ただし、縦が 9 cm、横が 12 cm である。
解答
三平方の定理：
d? = 9? + 12? = 81 + 144 = 225
d = √225 = 15
解説
長方形の対角線は、直角三角形の斜辺として三平方の定理を使うことで求められる。
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問題2：乗法公式（応用）
(2x ? 5)? を展開せよ。
解答
(2x ? 5)? = (2x)? ? 3(2x)??5 + 3(2x)?5? ? 5?
= 8x? ? 60x? + 150x ? 125
解説
三乗の展開公式：(a ? b)? = a? ? 3a?b + 3ab? ? b? を使用。
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問題3：因数分解（応用）
x? + 6x? + 11x + 6 を因数分解せよ。
解答
因数定理より、x = ?1, ?2, ?3 が解
→ (x + 1)(x + 2)(x + 3)
解説
因数定理で 1次因数を順に見つけて分解する。
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問題4：分数式の計算（応用）
次の式を計算せよ：
(x? ? 9) / (x? ? x ? 6) ÷ (x ? 3) / (x + 2)
解答
x? ? 9 = (x ? 3)(x + 3)
x? ? x ? 6 = (x ? 3)(x + 2)
よって：
[(x ? 3)(x + 3)] / [(x ? 3)(x + 2)] ÷ (x ? 3)/(x + 2)
= [(x ? 3)(x + 3)] / [(x ? 3)(x + 2)] × (x + 2)/(x ? 3)
→ x + 3
解説
割り算を掛け算に直し、因数分解後に約分。
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問題5：虚数の計算（応用）
(2 + 3i)(4 ? i) を計算せよ。
解答
= 2?4 + 2?(?i) + 3i?4 + 3i?(?i)
= 8 ? 2i + 12i ? 3i?
= 8 + 10i + 3 (※i? = ?1)
= 11 + 10i
解説
i? = ?1 の性質を用いて複素数の積を求める。
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問題6：二次方程式（応用）
x? ? 4x + 3 = 0 を解け。
解答
x? ? 4x + 3 = 0
→ (x ? 3)(x ? 1) = 0
→ x = 3, x = 1
解説
因数分解による二次方程式の解法。
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問題7：整式の除法（応用）
(x? ? 2x? + x ? 3) ÷ (x ? 1) を計算せよ。
解答
筆算または割り算の計算法で、
(x? ? 2x? + x ? 3) ÷ (x ? 1) = x? ? x + 2 ・・・余り ?1
解説
多項式を筆算で割るときは、各項を順に割り、整理する。
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問題8：無限等比級数（応用）
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ。
解答
初項 a = 1、公比 r = 1/2
和の公式：S = a / (1 ? r)
→ S = 1 / (1 ? 1/2) = 1 / (1/2) = 2
解説
|r| < 1 のとき、無限等比級数の和：S = a / (1 ? r)
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問題9：不等式の証明（応用）
(a + b)/2 ? √(ab) を示せ（a, b > 0）
解答
差をとって平方する：
((a + b)/2 ? √(ab))? ? 0
→ ((a ? b)?) / 4 ? 0
よって、(a + b)/2 ? √(ab)
解説
差の平方形式に直すことで不等式を証明できる。
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問題10：2点間の距離（応用）
点 A(2, 3)、B(6, 7) の距離を求めよ。
解答
距離公式：d = √((6 ? 2)? + (7 ? 3)?)
→ d = √(16 + 16) = √32 = 4√2
解説
2点間距離：d = √((x? ? x?)? + (y? ? y?)?) を使う。
POINT 1 高校 数学II 総合問題 １０問
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■ 問題1：三平方の定理と座標
点 A(1, 2)、B(4, 6)、C(7, 2) が作る三角形が直角三角形であることを証明せよ。
【解答】
各辺の長さを求める：
AB = √((4 ? 1)? + (6 ? 2)?) = √(9 + 16) = √25 = 5
BC = √((7 ? 4)? + (2 ? 6)?) = √(9 + 16) = √25 = 5
CA = √((7 ? 1)? + (2 ? 2)?) = √(36 + 0) = √36 = 6
三平方の定理より：
5? + 5? = 25 + 25 = 50 ≠ 6?
（→ 実はこのままでは成り立たないため、CA? = 36 に注目し、CA が斜辺である場合は：）
5? + 5? = 50
6? = 36
→ よってこの三角形は直角三角形 ではない。
（※ 問題の前提に誤りがあるため、再確認または点の指定ミスの可能性あり）
【解説】
三平方の定理（c? = a? + b?）を使い、辺の長さの関係を検証する。
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■ 問題2：二項定理
(2x ? 3)? を展開せよ。
【解答】
二項定理より：
(2x ? 3)? = 16x? ? 96x? + 216x? ? 216x + 81
【解説】
二項定理：
(a ? b)? = a? ? 4a?b + 6a?b? ? 4ab? + b?
に a = 2x, b = 3 を代入して計算。
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■ 問題3：分数式の計算
(x? ? 4)/(x? ? x ? 6) ÷ (x ? 2)/(x + 3) を計算せよ。
【解答】
因数分解：
x? ? 4 = (x ? 2)(x + 2)
x? ? x ? 6 = (x ? 3)(x + 2)
式は：
[(x ? 2)(x + 2)] / [(x ? 3)(x + 2)] ÷ [(x ? 2)/(x + 3)]
→ 掛け算に直して：
[(x ? 2)(x + 2)] / [(x ? 3)(x + 2)] × (x + 3)/(x ? 2)
→ 約分して残るのは：
(x + 3)/(x ? 3)
【解説】
分数式の割り算は掛け算に変え、因数分解と約分で整理する。
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■ 問題4：虚数の計算
(3 + 4i)(2 ? i) を計算せよ。
【解答】
= 3×2 + 3×(?i) + 4i×2 + 4i×(?i)
= 6 ? 3i + 8i ? 4i?
= 6 + 5i + 4 （※ i? = ?1）
= 10 + 5i
【解説】
i? = ?1 を正しく使いながら、複素数の展開を行う。
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■ 問題5：二次方程式
x? ? 4x + 5 = 0 の解を求めよ。
【解答】
解の公式：
x = [4 ± √(?4)? ? 4×1×5] / (2×1)
= [4 ± √(16 ? 20)] / 2
= [4 ± √(?4)] / 2
= [4 ± 2i] / 2
= 2 ± i
【解説】
判別式 D = b? ? 4ac < 0 のとき、解は虚数解になる。
√(?4) = 2i を使って整理。
■ 問題6：整式の割り算
x? ? 3x? + 4x ? 12 を x ? 2 で割れ。
【解答】
(x? ? 3x? + 4x ? 12) ÷ (x ? 2) = x? ? x + 6
【解説】
整式の割り算は筆算（または組立除法）で行い、商を求める。
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■ 問題7：無限等比級数
無限等比級数 5 + 4 + 3.2 + … の和を求めよ。
【解答】
初項 a = 5、公比 r = 4/5
和の公式：
S = a / (1 ? r) = 5 / (1 ? 4/5) = 5 / (1/5) = 25
【解説】
無限等比級数の和は S = a / (1 ? r)（ただし |r| < 1）を用いる。
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■ 問題8：不等式の証明
(x ? 2)(x + 3) ? ?4 を証明せよ。
【解答】
展開すると：
x? + x ? 6 ? ?4
整理：
x? + x ? 2 ? 0
判別式 D = 1? ? 4×1×(?2) = 9 > 0
∴ 解の範囲は x ? ?2 または x ? 1
【解説】
二次不等式は、平方完成や判別式を使って解の範囲を求める。
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■ 問題9：座標の応用
三角形の重心を求めよ。
（頂点 A(1, 2)、B(3, 4)、C(5, 6)）
【解答】
重心 G の座標は：
G = ((1 + 3 + 5)/3, (2 + 4 + 6)/3) = (9/3, 12/3) = (3, 4)
【解説】
重心の公式は G = ((x? + x? + x?)/3, (y? + y? + y?)/3)
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■ 問題10：二次関数と直線
関数 f(x) = x? ? 4x + 3 と直線 y = 1 の共有点を求めよ。
【解答】
連立：
x? ? 4x + 3 = 1
⇔ x? ? 4x + 2 = 0
解の公式：
x = [4 ± √(16 ? 8)] / 2 = (4 ± √8) / 2 = (4 ± 2√2) / 2 = 2 ± √2
よって、共有点の x 座標は 2 ± √2
【解説】
関数と直線の交点は、2つの式を連立させて解を求める。
高校数学IIは、理系・文系問わず重要な単元ばかり！この問題集では、指数・対数関数、三角関数、微分・積分を基礎から応用まで詳しく解説。
難しい概念も丁寧な説明と例題でしっかり理解できるので、定期テスト対策にも受験準備にも最適。数学IIを得意にすれば、大学入試の数学が大きく有利に！
構成
No 基礎問題 応用問題 総合問題 total 価格
POINT 1 10 10 10 30 無料
POINT 2 10 10 10 30 有料
POINT３ 10 10 10 30 有料
POINT４ 10 10 10 30 有料
SET 40 40 40 120 有料
高校数学II
POINT１
数学の始まり
? 三平方の定理（ピタゴラスの定理）
o 直角三角形の辺の関係： a2+b2=c2 a? + b? = c?
o 整数の組として成り立つ例（例：(5,12,13), (8,15,17)）
o 平方根の概念の発展
? 式の計算
o 2次の乗法公式 (a+b)? = a? + 2ab + b? (a-b)? = a? - 2ab + b?
o 3次の乗法公式 (a+b)? = a? + 3a?b + 3ab? + b? (a-b)? = a? - 3a?b + 3ab? - b?
o 乗法公式を用いた計算手順
? 展開を活用して多項式の計算を簡略化する方法
3次の因数分解
? 因数分解の公式 a? + b? = (a+b)(a? - ab + b?) a? - b? = (a-b)(a? + ab + b?)
? パスカルの三角形と二項定理
o 二項展開： (a+b)n = Σk=0n(nCk) a??? b?
o パスカルの三角形を用いた係数の求め方
? 二項定理の具体例と展開
o 例：(x+2)? を展開する
o 高次の展開式の計算
分数式の乗法と除法
? 分数式の基本
o 文字を含む分数の計算ルール
? 乗法（かけ算）
A/B × C/D = AC/BD
? 除法（割り算）
A/B ÷ C/D = A/B × D/C
? 逆数を用いた計算方法
o 割り算を掛け算に変換して解く
? 分数式の加法と減法
o 分母が同じ場合：
A/C + B/C = (A + B)/C
o 分母が異なる場合：
? 通分してから計算
o 具体例を用いた加減算の方法
虚数と複素数
? 虚数の定義
o 虚数単位 i の性質： i? = -1
? 負の数の平方根
o 方程式 x? = -a の解： x = ±i√a
? 複素数の定義
o 一般形：a + bi
o 実部 a、虚部 b
? 複素数の計算
o 加法・減法： 実部と虚部をそれぞれ計算
o 乗法：i? = -1 を利用して展開
o 共役な複素数：a + bi に対して a - bi
o 除法：分母に虚数が含まれる場合、共役を掛けて有理化する
二次方程式の解
? 解の公式
o 二次方程式： ax? + bx + c = 0
o 解の公式：
x = [-b ± √(b? - 4ac)] / (2a)
? 解の種類と判別式
o 判別式：D = b? - 4ac
- D > 0：異なる2つの実数解
- D = 0：重解（1つの実数解）
- D < 0：異なる2つの虚数解
? 解と係数の関係
o 解の和： α + β = -b/a
o 解の積： αβ = c/a
? 応用
o 二次方程式を利用した計算
o 判別式を用いた方程式の解の個数の判定
整式の除法
? 整式の割り算の手順
o 割られる式 A(x) を、割る式 B(x) に対して
A(x) = B(x)Q(x) + R(x)
o ここで、余り R(x) の次数は B(x) より小さい
? 剰余の定理
o P(x) を x - a で割ったときの余りは P(a)
? 因数定理
o P(a) = 0 のとき、x - a は P(x) の因数
? 因数定理を用いた因数分解
o P(x) = (x - a)(x - b)(x - c) のように展開可能
? 応用
o 4次式の因数分解の手順
o 剰余の定理を使った計算確認
無限等比級数
? 無限級数とは
o 数列の無限個の項を足し合わせたもの
? 無限等比級数の収束条件
o 公比 |r| < 1 のとき、級数は収束する
? 和の公式（|r| < 1 のとき）
o S = a / (1 - r)
? 具体例
o 例：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
⇒ S = 1 / (1 - 1/2) = 2
? 応用
o 循環小数の分数表示
o 経済学や物理学での応用
等式と不等式の証明
? 等式の証明
o 両辺を展開して一致を確認
o 式変形により示す
? 不等式の証明
o 両辺の差をとって 0 以上を示す方法
o 平方や乗法を活用して証明
? 相加平均・相乗平均の関係（a, b > 0）
o (a + b)/2 ? √ab
? 応用例
o 最大・最小問題の処理
o 統計学や経済学での利用
座標と直線の方程式
? 座標の基本
o 平面上の点は (x, y) で表す
? 二点間の距離公式
o d = √[(x? - x?)? + (y? - y?)?]
? 直線の方程式
o 傾き m を使って：y = mx + c
? 内分点の公式
o (m x? + n x?)/(m + n), (m y? + n y?)/(m + n)
? 外分点の公式
o (m x? - n x?)/(m - n), (m y? - n y?)/(m - n)
? 応用
o 傾きの求め方
o 直線の交点計算
座標平面と点の位置
? 座標の読み方
o x軸・y軸の意味と点の位置関係
? 二点間の距離
o d = √[(x? - x?)? + (y? - y?)?]
? 内分点・外分点の利用
o 特定比での分割点を求める
? 傾きの公式
o m = (y? - y?)/(x? - x?)
? 応用
o 直線の方程式の導出
o 三角形の重心：3点の平均
G = ((x? + x? + x?)/3, (y? + y? + y?)/3)
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高校 数学II
POINT 1 基礎問題10問
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問題1：三平方の定理
直角三角形の 2 辺の長さが 6 cm と 8 cm のとき、斜辺の長さを求めよ。
解答
三平方の定理：
a? + b? = c?
6? + 8? = c?
36 + 64 = c?
c? = 100
c = √100 = 10
解説
直角三角形における三平方の定理を使って斜辺を求める。
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問題2：乗法公式の利用
次の式を展開せよ。
(x + 3)?
解答
(x + 3)? = x? + 2 × 3 × x + 3? = x? + 6x + 9
解説
展開公式：(a + b)? = a? + 2ab + b? を用いる。
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問題3：因数分解
x? ? 27 を因数分解せよ。
解答
x? ? 27 = (x ? 3)(x? + 3x + 9)
解説
a? ? b? = (a ? b)(a? + ab + b?) の公式を使う。
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問題4：分数式の乗除
(3x / 4) × (8 / 9x)
解答
= (3x × 8) / (4 × 9x)
= 24x / 36x
= 2 / 3
解説
分数の掛け算では分子・分母をそれぞれ簡約。
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問題5：虚数の基本
i? + i? + i? を求めよ。
解答
i? = ?1
i? = i? × i = (?1) × i = ?i
i? = (i?)? = (?1)? = 1
よって、1 + (?1) + (?i) = ?i
解説
i? = ?1 をもとに虚数の性質を展開。
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問題6：二次方程式の解
x? ? 4x + 3 = 0 を解け。
解答
(x ? 3)(x ? 1) = 0
よって、x = 3, x = 1
解説
因数分解により解を求める。
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問題7：整式の除法
(x? ? 2x? + x ? 3) ÷ (x ? 1)
解答
= x? ? x + 2 あまり ?1
解説
筆算を使い、商と余りを求める。
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問題8：無限等比級数
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ。
解答
初項 a = 1、公比 r = 1/2
S = a / (1 ? r) = 1 / (1 ? 1/2) = 1 / (1/2) = 2
解説
|r| < 1 のとき、無限等比級数の和 S = a / (1 ? r) を使う。
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問題9：不等式の証明
(a + b) / 2 ? √(ab)?（a, b > 0）
解答
左辺 ? 右辺 = ((a + b) / 2 ? √ab)
これを平方して：
((a + b) / 2)? ? ab
= (a? + 2ab + b?) / 4 ? ab
= (a? ? 2ab + b?) / 4
= ((a ? b)?) / 4 ? 0
よって証明完了。
解説
差の平方は常に 0 以上になる性質を利用。
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問題10：2点間の距離
点 A(2, 3)、B(6, 7) 間の距離を求めよ。
解答
距離公式：
d = √((6 ? 2)? + (7 ? 3)?)
= √(16 + 16)
= √32
= 4√2
解説
2点間距離の公式 √((x? ? x?)? + (y? ? y?)?) を使う。
POINT 1 高校 数学II応用問題 10問
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問題1：三平方の定理（応用）
長方形の対角線の長さを求めよ。ただし、縦が 9 cm、横が 12 cm である。
解答
三平方の定理：
d? = 9? + 12? = 81 + 144 = 225
d = √225 = 15
解説
長方形の対角線は、直角三角形の斜辺として三平方の定理を使うことで求められる。
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問題2：乗法公式（応用）
(2x ? 5)? を展開せよ。
解答
(2x ? 5)? = (2x)? ? 3(2x)??5 + 3(2x)?5? ? 5?
= 8x? ? 60x? + 150x ? 125
解説
三乗の展開公式：(a ? b)? = a? ? 3a?b + 3ab? ? b? を使用。
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問題3：因数分解（応用）
x? + 6x? + 11x + 6 を因数分解せよ。
解答
因数定理より、x = ?1, ?2, ?3 が解
→ (x + 1)(x + 2)(x + 3)
解説
因数定理で 1次因数を順に見つけて分解する。
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問題4：分数式の計算（応用）
次の式を計算せよ：
(x? ? 9) / (x? ? x ? 6) ÷ (x ? 3) / (x + 2)
解答
x? ? 9 = (x ? 3)(x + 3)
x? ? x ? 6 = (x ? 3)(x + 2)
よって：
[(x ? 3)(x + 3)] / [(x ? 3)(x + 2)] ÷ (x ? 3)/(x + 2)
= [(x ? 3)(x + 3)] / [(x ? 3)(x + 2)] × (x + 2)/(x ? 3)
→ x + 3
解説
割り算を掛け算に直し、因数分解後に約分。
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問題5：虚数の計算（応用）
(2 + 3i)(4 ? i) を計算せよ。
解答
= 2?4 + 2?(?i) + 3i?4 + 3i?(?i)
= 8 ? 2i + 12i ? 3i?
= 8 + 10i + 3 (※i? = ?1)
= 11 + 10i
解説
i? = ?1 の性質を用いて複素数の積を求める。
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問題6：二次方程式（応用）
x? ? 4x + 3 = 0 を解け。
解答
x? ? 4x + 3 = 0
→ (x ? 3)(x ? 1) = 0
→ x = 3, x = 1
解説
因数分解による二次方程式の解法。
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問題7：整式の除法（応用）
(x? ? 2x? + x ? 3) ÷ (x ? 1) を計算せよ。
解答
筆算または割り算の計算法で、
(x? ? 2x? + x ? 3) ÷ (x ? 1) = x? ? x + 2 ・・・余り ?1
解説
多項式を筆算で割るときは、各項を順に割り、整理する。
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問題8：無限等比級数（応用）
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和を求めよ。
解答
初項 a = 1、公比 r = 1/2
和の公式：S = a / (1 ? r)
→ S = 1 / (1 ? 1/2) = 1 / (1/2) = 2
解説
|r| < 1 のとき、無限等比級数の和：S = a / (1 ? r)
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問題9：不等式の証明（応用）
(a + b)/2 ? √(ab) を示せ（a, b > 0）
解答
差をとって平方する：
((a + b)/2 ? √(ab))? ? 0
→ ((a ? b)?) / 4 ? 0
よって、(a + b)/2 ? √(ab)
解説
差の平方形式に直すことで不等式を証明できる。
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問題10：2点間の距離（応用）
点 A(2, 3)、B(6, 7) の距離を求めよ。
解答
距離公式：d = √((6 ? 2)? + (7 ? 3)?)
→ d = √(16 + 16) = √32 = 4√2
解説
2点間距離：d = √((x? ? x?)? + (y? ? y?)?) を使う。
POINT 1 高校 数学II 総合問題 １０問
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■ 問題1：三平方の定理と座標
点 A(1, 2)、B(4, 6)、C(7, 2) が作る三角形が直角三角形であることを証明せよ。
【解答】
各辺の長さを求める：
AB = √((4 ? 1)? + (6 ? 2)?) = √(9 + 16) = √25 = 5
BC = √((7 ? 4)? + (2 ? 6)?) = √(9 + 16) = √25 = 5
CA = √((7 ? 1)? + (2 ? 2)?) = √(36 + 0) = √36 = 6
三平方の定理より：
5? + 5? = 25 + 25 = 50 ≠ 6?
（→ 実はこのままでは成り立たないため、CA? = 36 に注目し、CA が斜辺である場合は：）
5? + 5? = 50
6? = 36
→ よってこの三角形は直角三角形 ではない。
（※ 問題の前提に誤りがあるため、再確認または点の指定ミスの可能性あり）
【解説】
三平方の定理（c? = a? + b?）を使い、辺の長さの関係を検証する。
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■ 問題2：二項定理
(2x ? 3)? を展開せよ。
【解答】
二項定理より：
(2x ? 3)? = 16x? ? 96x? + 216x? ? 216x + 81
【解説】
二項定理：
(a ? b)? = a? ? 4a?b + 6a?b? ? 4ab? + b?
に a = 2x, b = 3 を代入して計算。
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■ 問題3：分数式の計算
(x? ? 4)/(x? ? x ? 6) ÷ (x ? 2)/(x + 3) を計算せよ。
【解答】
因数分解：
x? ? 4 = (x ? 2)(x + 2)
x? ? x ? 6 = (x ? 3)(x + 2)
式は：
[(x ? 2)(x + 2)] / [(x ? 3)(x + 2)] ÷ [(x ? 2)/(x + 3)]
→ 掛け算に直して：
[(x ? 2)(x + 2)] / [(x ? 3)(x + 2)] × (x + 3)/(x ? 2)
→ 約分して残るのは：
(x + 3)/(x ? 3)
【解説】
分数式の割り算は掛け算に変え、因数分解と約分で整理する。
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■ 問題4：虚数の計算
(3 + 4i)(2 ? i) を計算せよ。
【解答】
= 3×2 + 3×(?i) + 4i×2 + 4i×(?i)
= 6 ? 3i + 8i ? 4i?
= 6 + 5i + 4 （※ i? = ?1）
= 10 + 5i
【解説】
i? = ?1 を正しく使いながら、複素数の展開を行う。
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■ 問題5：二次方程式
x? ? 4x + 5 = 0 の解を求めよ。
【解答】
解の公式：
x = [4 ± √(?4)? ? 4×1×5] / (2×1)
= [4 ± √(16 ? 20)] / 2
= [4 ± √(?4)] / 2
= [4 ± 2i] / 2
= 2 ± i
【解説】
判別式 D = b? ? 4ac < 0 のとき、解は虚数解になる。
√(?4) = 2i を使って整理。
■ 問題6：整式の割り算
x? ? 3x? + 4x ? 12 を x ? 2 で割れ。
【解答】
(x? ? 3x? + 4x ? 12) ÷ (x ? 2) = x? ? x + 6
【解説】
整式の割り算は筆算（または組立除法）で行い、商を求める。
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■ 問題7：無限等比級数
無限等比級数 5 + 4 + 3.2 + … の和を求めよ。
【解答】
初項 a = 5、公比 r = 4/5
和の公式：
S = a / (1 ? r) = 5 / (1 ? 4/5) = 5 / (1/5) = 25
【解説】
無限等比級数の和は S = a / (1 ? r)（ただし |r| < 1）を用いる。
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■ 問題8：不等式の証明
(x ? 2)(x + 3) ? ?4 を証明せよ。
【解答】
展開すると：
x? + x ? 6 ? ?4
整理：
x? + x ? 2 ? 0
判別式 D = 1? ? 4×1×(?2) = 9 > 0
∴ 解の範囲は x ? ?2 または x ? 1
【解説】
二次不等式は、平方完成や判別式を使って解の範囲を求める。
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■ 問題9：座標の応用
三角形の重心を求めよ。
（頂点 A(1, 2)、B(3, 4)、C(5, 6)）
【解答】
重心 G の座標は：
G = ((1 + 3 + 5)/3, (2 + 4 + 6)/3) = (9/3, 12/3) = (3, 4)
【解説】
重心の公式は G = ((x? + x? + x?)/3, (y? + y? + y?)/3)
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■ 問題10：二次関数と直線
関数 f(x) = x? ? 4x + 3 と直線 y = 1 の共有点を求めよ。
【解答】
連立：
x? ? 4x + 3 = 1
⇔ x? ? 4x + 2 = 0
解の公式：
x = [4 ± √(16 ? 8)] / 2 = (4 ± √8) / 2 = (4 ± 2√2) / 2 = 2 ± √2
よって、共有点の x 座標は 2 ± √2
【解説】
関数と直線の交点は、2つの式を連立させて解を求める。